Fibonacci
Las apuestas siguen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… Avanza un paso tras una pérdida y retrocede dos tras un acierto.
No vence al cilindro; ningún plan de apuestas lo hace. Es más suave que la martingala, así que aguanta rachas perdedoras más largas antes de llegar al límite, y se recupera más despacio. La pérdida esperada es el mismo 2,70% del volumen apostadodineroVolumen apostadoLa cantidad total apostada en una sesión o un período, contando las ganancias que se vuelven a apostar. También: handle, action.Leer todo →.
Cómo se construye la secuencia
Cada número es la suma de los dos anteriores.
Así, después de 8 y 13 viene 21.
Dibuja cada número como un cuadrado y los cuadrados encajan entre sí: cada uno nuevo mide lo mismo que los dos anteriores puestos uno junto al otro. Un cuarto de círculo en cada cuadrado, y los arcos se unen en una espiral.
Recorre la secuencia
Una pérdida avanza un paso a la derecha. Un acierto retrocede dos pasos.
Las apuestas y los resultados están en unidades de la apuesta base.
¿Cómo funciona el sistema Fibonacci?
Escribe los números de FibonacciestrategiaFibonacciProgresión que sigue la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: un paso adelante tras una pérdida, dos pasos atrás tras un acierto.Leer todo →: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Cada uno es la suma de los dos anteriores. Empieza por el primero y apuesta ese número de unidadesdineroUnidadLa apuesta base con la que trabaja un sistema o un jugador. Las progresiones se describen en unidades para que sirvan en cualquier mesa.Leer todo →. Si pierdes, avanzas un paso a la derecha. Si ganas, retrocedes dos pasos a la izquierda, o vuelves al principio si no hay sitio. Ese es todo el sistema. La tabla muestra lo que cuesta cada paso: una racha de pérdidas cortada por el límite de mesamesaLímite de mesaApuesta mínima y apuesta máxima permitidas. La máxima es lo que detiene las progresiones que doblan.Leer todo → o por tu bankrolldineroBankrollLa cantidad total reservada para jugar. La gestión del bankroll consiste en decidir qué parte arriesgar por apuesta y por sesión.Leer todo → pierde la suma de todo lo apostado hasta entonces.
¿Cómo es una sesión?
Toma una base de $10 y ocho tiradas: P P A P P P A A. Las apuestas son 10, 10, 20 (acierto, retrocede dos, al paso 1), 10, 10, 20, 30 (acierto, retrocede dos, al paso 2), 10 (acierto, vuelve al principio). Perdido: 10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60. Ganado: 20 + 30 + 10 = 60. Cinco pérdidas, tres aciertos, y estás como al principio. Ese es el atractivo del sistema. El coste está en la misma línea: hicieron falta $120 en apuestas para llegar ahí, y cada dólar apostado lleva la ventaja de la casamatemáticasVentaja de la casaLa parte de cada apuesta que el casino se queda de media: un 2,70% en la ruleta europea.Leer todo →.
¿Por qué retroceder dos pasos y no uno?
Porque un acierto paga exactamente dos pérdidas. Cada número es la suma de los dos anteriores, así que un acierto con 5 unidades devuelve el 2 y el 3 perdidos justo antes. Piensa en una escalera: un escalón arriba por cada pérdida, dos escalones abajo por cada acierto. El escalón en el que estás es tu deuda. En el escalón 5 llevas 7 unidades perdidas, en el escalón 8 llevas 33, y de vuelta en el primer escalón estás exactamente a cero. La ganancia sale solo de los aciertos en el primer escalón, de unidad en unidad.
Con casi tantos aciertos como pérdidas, dos escalones por uno suena a ganga, y la mayoría de las veces la escalera sí lleva de vuelta abajo. La trampa es que los escalones se hacen más altos a medida que subes. Diez aciertos en el primer escalón dan 10 unidades. Tres pérdidas en los pasos 6, 7 y 8 cuestan 8 + 13 + 21 = 42.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediana −$500
- p75 +$250
- p90 +$920
¿Funciona el sistema Fibonacci?
No. No como forma de salir ganando. El cálculo es el mismo que con todos los sistemas: cada apuesta pierde de media 1/37 de su importe, así que la secuencia entera pierde 1/37 de todo lo apostado. Una secuencia famosa no cambia eso, porque el cilindro paga en la misma proporción sea cual sea el tamaño de la fichadineroFichaUna pieza que representa un importe fijo y que se coloca sobre el tapete para hacer una apuesta. También: cheque.Leer todo →. Las apuestas de Fibonacci suben, así que apuesta más por tirada que la apuesta planaestrategiaApuesta planaApostar la misma cantidad en cada tirada. La referencia con la que se compara toda progresión.Leer todo →, y su pérdida esperadamatemáticasPérdida esperadaEl valor esperado multiplicado por la cantidad total apostada; la cantidad que se pierde de media a lo largo de una sesión o de un período.Leer todo → por sesión es mayor. La martingalaestrategiaMartingalaProgresión que dobla la apuesta tras cada pérdida. Consulta la sección Estrategia para ver lo que hace y lo que no hace.Leer todo → apuesta todavía más, y pierde más.
¿Es más seguro que la martingala?
Es más lento, que no es lo mismo. Las apuestas de Fibonacci crecen unas 1,6× por paso en lugar de 2×, así que un límite de $500 se alcanza tras unas diez pérdidas seguidas desde una base de $10, en lugar de seis. Eso hace el precipicio más raro: diez pérdidas seguidas a suerte sencilla es (19/37)¹⁰ ≈ 0,13%, frente a (19/37)⁶ ≈ 1,8% para seis. Pero el precipicio también es más alto, porque por el camino se ha apostado más, y un solo acierto no lo deshace.
¿De dónde salen los números?
De un acertijo sobre conejos. Leonardo de Pisa, apodado más tarde Fibonacci, lo planteó en su Liber Abaci de 1202: empieza con una pareja, deja que cada pareja produzca una pareja nueva cada mes a partir de su segundo mes, y cuenta las parejas. La respuesta es 1, 2, 3, 5, 8, 13. No fue el primero en dar con la regla. Los estudiosos indios del ritmo del verso la habían escrito antes: Singh (1985) la remonta a Virahanka, entre 600 y 800, y después a Gopala y Hemachandra.
Ninguno de ellos pensaba en un cilindro. Las fuentes usadas aquí no dicen quién fue el primero en apostar dinero según la secuencia. Lo que sí muestran es que su aritmética y la aritmética de la ruleta nunca se encuentran: una dice cómo crecen las apuestas, la otra dice lo que devuelve cada apuesta.
¿Cuánto se pierde tras una racha de pérdidas?
Dos identidades hacen fácil comprobar la tabla de arriba. Tras n pérdidas seguidas, el total perdido es el (n + 2)-ésimo número de Fibonacci menos 1, lo que da 1, 2, 4, 7, 12, 20, etcétera, y la siguiente apuesta es el (n + 1)-ésimo número de Fibonacci. Bollman (2021) demuestra el mismo resultado por inducción para una secuencia que empieza 1, 2, 3, lo que desplaza cada número un lugar. Con un límite de 500 unidades y un inicio de 1 unidad, la martingala no puede hacer su 10.ª apuesta, de 512 unidades. Fibonacci puede hacer la 14.ª, de 377 unidades, pero no la 15.ª, de 610.
¿Qué cambia en una docena o una columna?
En una docenaapuestaDocena1–12, 13–24 o 25–36, paga 2:1.Leer todo → o una columnaapuestaColumnaDoce números de una columna vertical del tapete, paga 2:1.Leer todo →, que pagan 2 a 1, no hace falta retroceder. Un acierto con una apuesta F paga 2F, que siempre es más que todo lo perdido antes, así que cada acierto cierra la secuencia con ganancia. El precio es que una docena solo gana 12 veces de cada 37, así que las rachas perdedoras largas son mucho más frecuentes: catorce pérdidas seguidas a una docena ocurren más o menos una vez de cada 242 intentos, frente a una de cada 11.000 aproximadamente al rojoapuestaRojoSuerte sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo →.
¿Y si paras solo tras dos aciertos seguidos?
Otra variante avanza un paso tras cada tirada, gane o pierda, y solo se detiene tras dos aciertos seguidos. Con n pérdidas antes de los dos aciertos, el beneficio es el (n + 1)-ésimo número de Fibonacci más 1: pequeño cuando los aciertos llegan pronto, mayor cuando llegan tarde, y ganado con apuestas que han crecido en la misma medida. Una pareja de aciertos temprana siempre llega con apuestas pequeñas; una tardía puede exigir una apuesta grande justo en el momento en que la sesión va peor.
Simulador · Fibonacci
2000 sesiones de suertes sencillas con un bankroll de $1000.
Apuesta base $10 · límite de mesa $500 · 100 tiradas por sesión
Con qué frecuencia llega una racha perdedora
Una suerte sencilla en un cilindro de un solo cero pierde 19 tiradas de cada 37. Cada fila es la probabilidad de que una serie dada de tiradas pierda entera, y lo que lleva perdido para entonces quien juega a Fibonacci, que avanza un paso en la secuencia tras cada pérdida.
| pérdidas seguidas | probabilidad | aprox. 1 de cada | ya perdido | apuesta siguiente |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26,4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13,5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7,0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3,6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1,8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0,94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0,48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0,25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0,13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $1596 | $987 |
La probabilidad es 19/37 multiplicado por sí mismo una vez por pérdida, contada desde una tirada dada. Una sesión larga tiene muchas tiradas en las que puede empezar una racha así, de modo que a lo largo de una noche es mucho más probable de lo que sugiere una fila.
Preguntas
Sí: avanzar tras un acierto, retroceder tras una pérdida. Se comporta como un ParoliestrategiaParoliProgresión positiva: dobla tras un acierto, reinicia tras una pérdida o tras tres aciertos seguidos. También: martingala inversa.Leer todo → más lento.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
Juega la variante que avanza un paso en la secuencia tras cada tirada, ganes o pierdas, y se detiene tras dos aciertos seguidos: apuestas de 1, 1, 2, 3, 5, 8, etcétera. Los catorce primeros resultados son G P G P P P G P P P G P P G. ¿Cómo vas y cuál es la apuesta siguiente?
Ver la solución
Respuesta Pierdes 22 unidadesdineroUnidadLa apuesta base con la que trabaja un sistema o un jugador. Las progresiones se describen en unidades para que sirvan en cualquier mesa.Leer todo →. La apuesta siguiente es de 610 unidades, y un acierto cerraría la sesión con 588 de ganancia.
Las apuestas son los catorce primeros números de FibonacciestrategiaFibonacciProgresión que sigue la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: un paso adelante tras una pérdida, dos pasos atrás tras un acierto.Leer todo →: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 y 377. Suma los aciertos y resta las pérdidas: +1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22.
El último resultado fue un acierto, así que un acierto más la termina. La apuesta siguiente es de 610: un acierto deja +588, una pérdida deja −632 y una apuesta siguiente de 987.
La variante siempre termina con ganancia, pero aquí necesita una apuesta de 610 unidades para lograrlo. Con las reglas habituales, dos pasos atrás tras un acierto, los mismos catorce resultados te dejan perdiendo solo 1 unidad, con una apuesta siguiente de 2. Bollman (2021), que empieza la secuencia en 1, 2, 3, llega a 1 unidad de pérdida y una apuesta siguiente de 3. Aquí las reglas habituales pierden menos porque cada acierto vuelve a bajar las apuestas.
tiradaapuestaresultadototal acumulado11G+121P032G+243P−155P−668P−14713G−1821P−22934P−561055P−1111189G−2212144P−16613233P−39914377G−22En la misma variante, ¿por qué n pérdidas seguidas de dos aciertos dejan siempre una ganancia igual al (n + 1)-ésimo número de Fibonacci más 1?
Ver la solución
Respuesta Las n pérdidas suman el (n + 2)-ésimo número de Fibonacci menos 1, y los dos aciertos son los dos números siguientes, que juntos lo superan en el (n + 1)-ésimo número más 1.
Escribe F₁, F₂, F₃ … para 1, 1, 2, 3, 5 … Cada número es la suma de los dos anteriores.
Las pérdidas: F₁ + F₂ + … + Fₙ. Suma 1 a esa suma, escrito como F₂, y se va plegando: F₂ + F₁ = F₃, luego F₃ + F₂ = F₄, y así sucesivamente, hasta que toda la suma es Fₙ₊₂. Así que las pérdidas suman Fₙ₊₂ − 1.
Los aciertos son las dos apuestas siguientes, Fₙ₊₁ y Fₙ₊₂. Ganancia: Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1. Con cuatro pérdidas, eso es F₅ + 1 = 6 unidades.
Nota de humor
El número áureo se encuentra con el cartel de apuesta máxima.
Fuentes
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.