Problema: el límite de mesa
Una martingala de $10 en una mesa de $500. ¿Con qué frecuencia se rompe, cuánto pierde cuando se rompe, y ayuda subir el límite?
La rompen seis pérdidas seguidas: 1,8% por ciclo, alrededor del 60% de las sesiones de 100 tiradas. La ruptura cuesta $630. Subir el límite a $5000 hace que la ruptura sea más rara (0,25% por ciclo) y mayor ($5110). La pérdida esperada por dólar apostado es del 2,70% con cualquier límite.
El problema
Un jugador apuesta $10 al rojoapuestaRojoSuerte sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → y dobla tras cada pérdida, volviendo a empezar tras un acierto. El máximo de la mesa es $500. (a) ¿Cuántas pérdidas consecutivas rompen la progresiónestrategiaProgresiónCualquier regla que cambia la apuesta en función de los resultados anteriores. Las progresiones negativas la suben tras las pérdidas; las positivas, tras los aciertos.Leer todo →? (b) ¿Cuál es la probabilidadmatemáticasProbabilidadGrado de posibilidad de un resultado, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Leer todo → por ciclo? (c) ¿Cuánto se pierde en la ruptura? (d) ¿Cómo cambian las respuestas con un límite de $5000? (e) ¿Algún límite hace rentable el sistema?
Soluciones (a)–(c)
Apuestas: 10, 20, 40, 80, 160, 320. La séptima sería 640 > 500, así que seis pérdidas la rompen. (b) p(pérdida) = 19/37 en el rojo; (19/37)⁶ = 0,0183, alrededor del 1,8% por ciclo. Un ciclo dura de media unas dos tiradas, así que una sesión de 100 tiradas tiene aproximadamente 50 ciclos y p(al menos una ruptura) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, que son 63 unidadesdineroUnidadLa apuesta base con la que trabaja un sistema o un jugador. Las progresiones se describen en unidades para que sirvan en cualquier mesa.Leer todo → base, frente a los $10 que el ciclo intentaba ganar.
Solución (d)
Con $5000: se permiten apuestas hasta 2560; la décima apuesta, 5120, se rechaza. Nueve pérdidas la rompen: (19/37)⁹ ≈ 0,25% por ciclo, alrededor del 11% de las sesiones de 100 tiradas. Pérdida en la ruptura: 10 + 20 + … + 2560 = $5110. El jugador ha comprado una catástrofe más rara al precio de una mayor. A lo largo de muchas sesiones, el coste esperado de las rupturas es p × pérdida ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 por ciclo con el límite de $500 y 0,0025 × 5110 = $12,8 con $5000; es, salvo redondeos, el mismo número, y es la pérdida esperadamatemáticasPérdida esperadaEl valor esperado multiplicado por la cantidad total apostada; la cantidad que se pierde de media a lo largo de una sesión o de un período.Leer todo → del ciclo menos los $10 que ganan los ciclos ganadores.
Solución (e)
No. Pérdida esperada por ciclo = (apuesta total esperada en el ciclo) / 37, con cualquier límite, porque cada apuesta es −1/37 de sí misma. El límite solo decide cómo se reparte la pérdida entre muchas ganancias pequeñas y pocas pérdidas grandes. Sin límite y con un bankrolldineroBankrollLa cantidad total reservada para jugar. La gestión del bankroll consiste en decidir qué parte arriesgar por apuesta y por sesión.Leer todo → infinito, la progresión «funcionaría», en el sentido de que nunca se rompería, y también apostaría una cantidad ilimitada con una pérdida esperada del 2,70% de esa cantidad ilimitada. El límite de mesamesaLímite de mesaApuesta mínima y apuesta máxima permitidas. La máxima es lo que detiene las progresiones que doblan.Leer todo → no es lo que impide que la martingalaestrategiaMartingalaProgresión que dobla la apuesta tras cada pérdida. Consulta la sección Estrategia para ver lo que hace y lo que no hace.Leer todo → funcione. Lo impide la aritmética.
Dos mesas reales
El ejemplo de Thorp es una mesa de $1 con un máximo de $1000, en la que un jugador espera ganar $30 para la cena, dólar a dólar. Los importes 1, 2, 4… 512 dan para diez apuestas, así que diez pérdidas seguidas rompen la progresión: una vez de cada 785 ciclos en un cilindro europeo (una de cada 613 en uno americano), con un coste de $1023. Los treinta ciclos salen todos bien el 96,2% de las veces. El 3,8% restante pierde alrededor de $1000, y el resultado medio de la noche es −$9,17, que es exactamente 1/37 de los $339 que apuestan de media los treinta ciclos. Una mesa de $5 con un máximo de $2000 no es distinta: los importes hasta $1280 dan para nueve apuestas, y la ruptura llega una vez de cada 403 ciclos en un cilindro europeo (una de cada 323 en uno americano) y cuesta $2555.
Un jugador rico
Dale a la progresión un bankroll abundante en lugar de un límite bajo: 1000 unidades, una base de una unidad y 1000 tiradas al rojo, volviendo a empezar con una unidad cada vez que el siguiente doble supere lo que queda. Simulamos un millón de noches así. En un cilindro europeo, el 52% acaba en ganancias, el 21% lo pierde todo y el resultado medio es −124 unidades. Incluso en un juego sin cerocilindroCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna suerte sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo →, en el que toda apuesta es justa, solo alrededor del 60% acabaría en ganancias. La noche habitual deja una pequeña ganancia; la media la pagan las noches que terminan en cero.
La lección
Los casinos fijan límites para acotar su propia varianzamatemáticasVarianzaUna medida de cuánto se dispersan los resultados alrededor del valor esperado. Alta para el pleno, baja para las suertes sencillas.Leer todo →, no para derrotar sistemas. Derrotar a la martingala es un efecto secundario que les alegra tener, y la aritmética la derrotaría de todos modos. Un jugador que piensa que el límite es el problema ha localizado el precipicio y lo ha confundido con la pendiente.
Fórmula
Preguntas
Te permite sobrevivir hasta un límite más alto, donde la ruptura es más rara y mayor. La pérdida esperada por dólar no cambia.
Apuestas de 10, 30, 70, 150, 310: el límite de $500 se alcanza tras cinco pérdidas, y la ruptura cuesta $570. El mismo 2,70%.
Para que un solo jugador no pueda apostar más de lo que la reserva del casino puede pagar con holgura. Es gestión de la varianza.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
Una martingalaestrategiaMartingalaProgresión que dobla la apuesta tras cada pérdida. Consulta la sección Estrategia para ver lo que hace y lo que no hace.Leer todo → empieza con $100 al rojoapuestaRojoSuerte sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → y se permite como mucho n apuestas por ciclo: tras n pérdidas seguidas, se rinde y vuelve a empezar. Escribe el resultado medio de un ciclo como una fórmula en n y calcúlalo para 5, 6 y 7 apuestas en un cilindro europeo.
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Respuesta La media es 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 con 5 apuestas, −$17,35 con 6 y −$20,52 con 7. Permitir más apuestas empeora el ciclo medio, no lo mejora.
Un ciclo gana $100 salvo que pierdan las n apuestas, lo que ocurre con probabilidad qⁿ, donde q = 19/37. Cuando pierden todas, las apuestas 100, 200… 100 × 2ⁿ⁻¹ suman 100 × (2ⁿ − 1). Así que la media es 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Aquí 2q = 38/37, un poco más que 1, así que (2q)ⁿ crece con n y la media baja: n = 5 da 1,1426 y −$14,26; n = 6 da 1,1735 y −$17,35; n = 7 da 1,2052 y −$20,52. Una escalera más larga pierde con menos frecuencia, en el 3,6%, el 1,8% y el 0,9% de los ciclos, pero cada pérdida es el doble de grande, y en cada ciclo pasa más dinero por la mesa, al 2,70% de cada apuesta.
En un cilindro americano 2q = 40/38 y las cifras son −$29,24, −$36,04 y −$43,20 (Taylor, 2021). En un juego sin cerocilindroCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna suerte sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo → 2q = 1, y cada ciclo da de media exactamente cero, sea cual sea la longitud de la escalera.
La «gran martingala» dobla la apuesta tras una pérdida y añade una unidaddineroUnidadLa apuesta base con la que trabaja un sistema o un jugador. Las progresiones se describen en unidades para que sirvan en cualquier mesa.Leer todo →, así que las apuestas son 1, 3, 7, 15, 31… ¿Cuánto vas ganando cuando el primer acierto llega en la 1.ª, la 2.ª, la 3.ª o la k-ésima apuesta? Con una unidad de $10 y un máximo de $500, ¿con qué frecuencia se rompe un ciclo, y cuánto cuesta un ciclo de media?
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Respuesta Un acierto en la k-ésima apuesta te deja k unidades a favor: +1, +2, +3 y así sucesivamente. Con $10 y $500, el ciclo se rompe tras cinco pérdidas, el 3,57% de los ciclos, con −$570. De media, un ciclo pierde $2,32 de $85,73 apostados: el 2,70%.
La k-ésima apuesta es de 2ᵏ − 1 unidades: 1, 3, 7, 15, 31. Las k − 1 primeras apuestas suman 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Un acierto en la k-ésima apuesta paga 2ᵏ − 1, así que el ciclo termina con (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unidades a favor: una unidad extra por cada pérdida anterior al acierto.
Con $10 por unidad, las apuestas son $10, $30, $70, $150 y $310; la siguiente, $630, supera el máximo de $500. Cinco pérdidas seguidas, (19/37)⁵ = 3,57%, cuestan 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Media: los aciertos aportan $10 × k con probabilidad (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 para k = 1 a 5, y la ruptura se lleva $570 con probabilidad 3,57%; en conjunto, −$2,32. El dinero apostado es de $85,73 por ciclo de media, y 2,32/85,73 = 2,70%. La martingala normal en la misma mesa se rompe tras seis pérdidas, el 1,83% de los ciclos, con −$630, y pierde $1,74 de $64,20 apostados: de nuevo el 2,70%.
Un jugador planea una martingala al rojo con una primera apuesta de $1 en una mesa cuyo límite es de $1000, así que caben diez apuestas: $1, $2, $4 y así hasta $512. ¿Con qué frecuencia pierde un ciclo las diez, cuánto se tarda en eso de media y con qué frecuencia termina así una noche de 200 apuestas?
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Respuesta Un ciclo pierde las diez aproximadamente una vez de cada 784, lo que cuesta $1023. Eso son unas 1600 apuestas de media, y una noche de 200 apuestas choca contra el muro aproximadamente el 11% de las veces. Aun así, un ciclo pierde de media $0,31 de $11,31 apostados: el 2,70%.
Una apuesta al rojo pierde con probabilidad 19/37, cero incluido. Diez seguidas: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, aproximadamente 1 de cada 784. Las apuestas 1 + 2 + 4 + … + 512 suman $1023.
Un ciclo dura de media 2,05 apuestas, así que 784 ciclos llevan unas 1600 apuestas. Contando tirada a tirada, una racha de diez pérdidas aparece en algún punto de 200 apuestas el 11,3% de las veces.
Entre un desastre y otro, el jugador gana $1 por ciclo: unos $783 antes del malo, luego −$1023, unos −$240 en todo el tramo. Por ciclo: 1 × (1 − 0,00128) − 1023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Dinero apostado por ciclo: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Y −0,31/11,31 = −2,70%.
Compara con una primera apuesta de $10 y un límite de $500, seis apuestas: el muro llega una vez de cada 55 ciclos, y una noche de 200 apuestas se topa con él el 84% de las veces. Un límite más alto hace el desastre más raro y más grande, no más barato.
Nota de humor
Más rara y mayor, con cada límite. El producto es constante.
Fuentes
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.