Falacia del jugador
La creencia de que un resultado «toca» porque lleva un tiempo sin aparecer.
Después de diez rojos, la probabilidad del negro sigue siendo 18/37. El cilindro no guarda registro y no debe nada.
La falacia
Si el rojoapuestaRojoSuerte sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → ha salido diez veces, muchos jugadores sienten que al negroapuestaNegroSuerte sencilla sobre los 18 números negros. En francés: noir.Leer todo → le «toca» y apuestan en consecuencia. Otros sienten que el rojo está «caliente» y apuestan a él. Ambos razonan desde una secuencia que ya ha terminado hacia una tirada que aún no ha ocurrido. La bolamaterialBolaLa pequeña bola que se lanza por la pista en sentido contrario al del rotor. Las bolas modernas son de ivorina o de teflón, de 18–21 mm.Leer todo → no sabe cuáles fueron las diez últimas tiradas; las casillasmaterialCasillaCada uno de los 37 compartimentos numerados del rotor. También: casillero, alvéolo.Leer todo → tienen el mismo tamaño que hace una hora; la probabilidadmatemáticasProbabilidadGrado de posibilidad de un resultado, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Leer todo → del negro es 18/37, como siempre.
Por qué parece cierta
A largo plazo, las proporciones de rojo y negro sí convergen a 18/37 cada una. La ley de los grandes númerosmatemáticasLey de los grandes númerosLa media de resultados independientes converge al valor esperado a medida que crece el número de pruebas.Leer todo → lo garantiza. Pero la convergencia se produce por dilución, no por corrección: tras 1000 tiradas más, los diez rojos de más son un error de redondeo en la proporción, no porque el negro se haya puesto al día, sino porque la muestra ha crecido. No existe ningún mecanismo que haga más probable el negro, y la ley de los grandes números no necesita ninguno.
Montecarlo, 18 de agosto de 1913
Salió el negro 26 veces seguidas en una mesa del Casino de Monte-Carlo. Desde el negro número quince más o menos, los jugadores se abalanzaron sobre el rojo, doblando y redoblando, cada tirada «más segura» que la anterior. El casino ganó millones de francos. La racha tenía una probabilidad de 1 entre 137 millones desde el primer negro, y la probabilidad de que acabara ocurriendo en algún lugar de los casinos del mundo era esencialmente uno. Es la razón por la que la falacia del jugador se llama también falacia de Montecarlo.
Nada extraordinario. Ocurre una vez de cada 44.
Los jugadores empiezan a fijarse. Al rojo «le toca».
La mesa está llena. Las apuestas al rojo se doblan tras cada pérdida.
Fortunas perdidas. Cada nuevo negro hace que el rojo parezca más seguro.
La racha termina. El casino ha ganado millones de francos de gente que apostaba contra una racha que no podía «saber» que era una racha.
La mano caliente
Apostar a un color porque está en racha es el mismo error al revés: se espera que la racha siga en vez de que termine. Los psicólogos lo llaman la mano calientemitoMano calienteLa creencia de que una racha de aciertos, o de un mismo resultado, hace más probable otro. En el cilindro es la falacia del jugador al revés.Leer todo →, por un estudio de 1985 de Gilovich, Vallone y Tversky que buscó rachas en los tiros a canasta de baloncesto y no encontró ninguna más allá del azar. En 2018, Miller y Sanjurjo demostraron que la propia prueba estaba sesgada: en un registro corto, la proporción de aciertos justo después de un acierto sale, de media, por debajo del porcentaje global del tirador, así que un jugador sin ninguna mano caliente parece ligeramente frío. Con la corrección, los mismos datos muestran una mano caliente modesta. Una persona puede entrar en calor; un cilindro no tiene forma física que ganar ni perder. Algunos jugadores sostienen las dos creencias a la vez: que una racha sigue hasta que es «demasiado larga» y entonces termina. En un cilindro equilibrado, cada versión tiene el mismo valor esperadomatemáticasValor esperadoEl resultado medio por apuesta a largo plazo. −1/37 de la apuesta en toda apuesta europea estándar.Leer todo → que elegir un color lanzando una moneda: −2,70% de la apuesta.
En una mesa real
Croson y Sundali (2005) revisaron 18 horas de vídeo de seguridad de una mesa de doble cerocilindroCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna suerte sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo → de un gran casino de Reno: 139 jugadores que hicieron 24.131 apuestas. En las suertes sencillasapuestaSuerte sencillaRojo/negro, impar/par, pasa/falta. 18 números, paga 1:1.Leer todo →, los jugadores se repartían casi a partes iguales entre seguir las rachas cortas y apostar contra ellas. Tras cinco resultados iguales seguidos se inclinaban contra la racha, y tras seis o más, el 85% de sus apuestas iban al lado contrario. Los mismos jugadores mostraban la mano caliente respecto a sí mismos: tras un acierto en los números cubrían de media 13,6 números en la tirada siguiente, frente a 9,2 tras una pérdida. Su cilindro no mostraba señales de sesgo, así que nada de esto cambiaba lo que cualquiera de ellos podía esperar.
Fuera del casino
La misma tendencia aparece donde se toman decisiones reales. Clotfelter y Cook (1993) siguieron el juego diario de números de Maryland: el dinero apostado a un número caía bruscamente en cuanto salía y tardaba meses en recuperarse, aunque el sorteo no tiene memoria. Chen, Moskowitz y Shue (2016) la encontraron entre profesionales. Los jueces de asilo de Estados Unidos tenían hasta 3,3 puntos porcentuales más de probabilidad de denegar un caso si habían concedido el anterior. Los árbitros de béisbol tenían 1,5 puntos menos de probabilidad de cantar un strike después de haber cantado uno, y más del doble en los lanzamientos dudosos. En un experimento de campo con analistas de créditos que cobraban una tarifa fija, hasta el 9% de las decisiones se invertían de esta forma. Los casos llegaban en orden aleatorio, así que la última decisión no decía nada sobre la siguiente, igual que la última tirada no dice nada sobre la próxima.
La falacia inversa del jugador
El filósofo Ian Hacking (1987) dio nombre a una tercera versión. Alguien entra en una sala, ve caer un par de dados con un doble seis y concluye que ya deben de haberse lanzado muchas veces. Cada lanzamiento tiene la misma probabilidad de ser un doble seis, sea el primero de la noche o el milésimo, así que lo que ve no dice nada sobre cuánto tiempo lleva la partida. En la ruleta es el jugador que llega ante un marcador con ocho rojos y decide que la mesa debe de llevar horas en marcha para haberlos producido. La falacia corriente proyecta el pasado sobre la próxima tirada; esta proyecta una escena rara sobre un pasado que nadie vio.
Un psicólogo que se lo creyó
La falacia ha tenido defensores cultos. El psicólogo alemán Karl Marbe revisó cuatro registros de 49.152 nacimientos cada uno, encontró que la racha más larga de niños o de niñas seguidos era de 17 y concluyó que las rachas largas son más raras de lo que permite el azar, de modo que una racha hace más probable el resultado contrario. El azar por sí solo dice otra cosa: en 196.608 nacimientos, una racha de 17 o más aparece aproximadamente cuatro veces de cada cinco. Marbe había encontrado exactamente el aspecto que tiene una secuencia aleatoria. Epstein (2013) cuenta el caso; Probabilidad de las rachas da la versión de la ruleta.
Dónde no se aplica la falacia
Si el cilindro estuviera sesgado físicamente, las tiradas pasadas serían informativas, porque serían evidencia sobre las casillas y no sobre la suerte. Ese es el tema del Laboratorio, y hacen falta miles de tiradas de un cilindro identificado para poder afirmar algo. Ante una racha de diez rojos en un cilindro desconocido, la explicación del sesgo es mucho menos probable que la del azar.
Preguntas
No. Se aplica a cualquier suceso independiente que se repite: dados, monedas, números de lotería.
Las proporciones se acercarán. Tu resultado seguirá siendo de aproximadamente −2,70% de lo que apostaste.
No existe ninguna ley de los promedios. Existe una ley de los grandes números, y funciona por dilución.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
Tras 10 lanzamientos, una moneda lleva 7 caras y 3 cruces. Tras 1000 lanzamientos, lleva 517 caras y 483 cruces. ¿Se han puesto al día las cruces?
Ver la solución
Respuesta No. La diferencia creció de 4 a 34. Solo el cociente se acercó al equilibrio.
El cociente entre caras y cruces bajó de 7/3, unos 2,33, a 517/483, unos 1,07. Esa es la ley de los grandes númerosmatemáticasLey de los grandes númerosLa media de resultados independientes converge al valor esperado a medida que crece el número de pruebas.Leer todo → en acción.
La diferencia entre ellas creció, de 4 a 34. Con una moneda equilibrada, una diferencia de unas 30 tras 1000 lanzamientos es normal: la diferencia típica crece más o menos con la raíz cuadrada del número de lanzamientos, mientras que el cociente se acerca a 1.
Nada hizo volver a las cruces. El exceso inicial de caras quedó diluido por los 990 lanzamientos siguientes, no corregido.
Lanza una moneda cuatro veces y fíjate solo en los lanzamientos que vienen justo después de una cara. ¿Qué proporción de ellos son caras? Calcúlalo para cada una de las 16 secuencias posibles y haz la media de las proporciones. ¿Sale el 50%?
Ver la solución
Respuesta No. Sale 17/42, aproximadamente el 40,5%. Vista así, una moneda equilibrada parece enfriarse después de una cara.
Enumera las 16 secuencias (H es cara y T es cruz). Dos de ellas, TTTT y TTTH, no tienen ninguna cara en los tres primeros lanzamientos, así que nada sigue a una cara; quedan 14.
En cada una, toma los lanzamientos que siguen a una cara y busca la proporción de caras. HHHH da 3 de 3. HHHT da 2 de 3. HTHT da 0 de 2. Repasando las 14: seis secuencias dan 0, cuatro dan 1/2, una da 2/3 y tres dan 1 (HHHH, THHH y TTHH).
Suma las proporciones: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Divide entre 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Ningún lanzamiento favorece a la cruz; cada uno es 50–50. La inclinación viene de hacer la media secuencia a secuencia: una secuencia llena de caras tiene muchos lanzamientos que mirar pero cuenta una sola vez, igual que una secuencia con una sola cara. Miller y Sanjurjo (2018) demostraron que el estudio de 1985 sobre la mano caliente había medido así a sus jugadores de baloncesto, de modo que unos jugadores que no parecían tener más rachas de las que da el azar en realidad tenían algunas más.
Nota de humor
Dilución, no corrección. El cilindro no debe nada.
Fuentes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”