D'Alembert
Añade una unidad tras una pérdida y quita una tras un acierto.
No vence al cilindro. Es la progresiónestrategiaProgresiónCualquier regla que cambia la apuesta en función de los resultados anteriores. Las progresiones negativas la suben tras las pérdidas; las positivas, tras los aciertos.Leer todo → común más plana: las apuestas suben despacio, las caídas son moderadas y la ventaja de la casa queda intacta.
Recorre el sistema
Una pérdida sube un paso. Un acierto retrocede un paso.
Las apuestas y los resultados están en unidades de la apuesta base.
¿Cómo funciona el sistema D’Alembert?
Apuesta una unidaddineroUnidadLa apuesta base con la que trabaja un sistema o un jugador. Las progresiones se describen en unidades para que sirvan en cualquier mesa.Leer todo →. Si pierdes, la siguiente apuesta es una unidad mayor. Si ganas, es una unidad menor, nunca por debajo de una. Eso es todo. Imagina un balancín: cada pérdida sube la apuesta un punto y cada acierto la vuelve a bajar. La creencia de fondo es que los aciertos y las pérdidas se equilibrarán, de modo que la apuesta volverá a la base. El atractivo es que cada par de un acierto y una pérdida con apuestas contiguas da un neto de +1 unidad: pierdes 3, ganas 4, neto +1.
¿Cómo es una sesión?
Suave, con una apuesta que va subiendo poco a poco. Como las pérdidas superan a los aciertos por 19 a 18 en suerte sencilla, la apuesta tiende a subir a lo largo de una sesión larga. Como la apuesta es más alta cuando llevas pérdidas y más baja cuando ganas, la apuesta media durante las rachas perdedoras supera a la de las rachas ganadoras. Las sesiones son más suaves que con la martingalaestrategiaMartingalaProgresión que dobla la apuesta tras cada pérdida. Consulta la sección Estrategia para ver lo que hace y lo que no hace.Leer todo →, con caídasdineroCaída (drawdown)El descenso desde un máximo del bankroll hasta un mínimo posterior dentro de una sesión. La caída máxima es el mayor de esos descensos.Leer todo → moderadas y sin precipicio, y pierden de media algo más que la apuesta planaestrategiaApuesta planaApostar la misma cantidad en cada tirada. La referencia con la que se compara toda progresión.Leer todo → porque la apuesta media es más alta.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediana −$500
- p75 −$500
- p90 −$500
¿Funciona el sistema D’Alembert?
No. Una sesión equilibrada gana, y las sesiones no se mantienen equilibradas. Tras w aciertos y l pérdidas con apuestas contiguas, el resultado neto es w − l unidades más una corrección según el punto de la escalera en que estuvieras. Si w = l, el resultado es exactamente +w unidades, lo que parece una ganancia garantizada. La trampa es que w = l no es el caso esperado: en 37 tiradas se esperan 18 aciertos y 19 pérdidas. Una pérdida de más con una apuesta que ha subido a, por ejemplo, 8 unidades cuesta más que los ocho pares de +1 producidos. El valor esperado resulta ser −1/37 del volumen apostadodineroVolumen apostadoLa cantidad total apostada en una sesión o un período, contando las ganancias que se vuelven a apostar. También: handle, action.Leer todo → total, como debe ser.
¿Por qué las sesiones cortas suelen ganar?
El caso equilibrado forma parte de una regla que vale para cualquier sesión. Llama D al número de pérdidas menos el número de aciertos. Una sesión de N tiradas que empieza en una unidad termina en (N − D²)/2 − D unidades, siempre que no gane ninguna apuesta de una unidad (tras un acierto así, la apuesta no puede bajar más). Con D = 0 eso da +N/2, el +w de la sección anterior. Cada pérdida de más cuenta al cuadrado: tras 100 tiradas, un D de 4 todavía deja +38 unidades, un D de 8 deja +10 y un D de 10 deja −10. El azar por sí solo dispersa D en torno a √N, diez tras 100 tiradas, y en un juego sin cerocilindroCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna suerte sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo → las ganancias de las muchas sesiones equilibradas y las pérdidas de las pocas desequilibradas se compensan exactamente. El cero añade de media una pérdida de más cada 37 tiradas, y como D va al cuadrado, su coste crece más deprisa que la sesión. La mayoría de las sesiones de hasta 100 tiradas acaban por delante; la media nunca, y a partir de unos cientos de tiradas también pierde la mayoría de las sesiones.
¿Y si le das la vuelta?
El contra-D’Alembert, también llamado D’Alembert inverso, añade una unidad tras un acierto y quita una tras una pérdida. Es el reflejo exacto del original. Mientras no se pierda ninguna apuesta de una unidad, una sesión de N tiradas termina en (D² − N)/2 + D unidades, donde D es ahora los aciertos menos las pérdidas. Una sesión equilibrada pierde media unidad por tirada, y solo una racha de aciertos muy por delante de las pérdidas da beneficio. Así que la mayoría de las sesiones pierden un poco y unas pocas ganan mucho, la forma contraria a la del original, y la media es el mismo 2,70% del dinero apostado.
¿Quién fue d’Alembert?
Jean le Rond d’Alembert, matemático y codirector de la Encyclopédie, sostuvo en un artículo de 1754 que, tras una racha de caras, la cruz se volvía más probable. Se equivocaba, y la falacia que lleva su nombre es una forma de la falacia del jugador. El sistema de apuestas recibió su nombre más tarde, de jugadores que compartían esa creencia. Él no lo diseñó y probablemente no lo habría aprobado.
¿Hay otras versiones?
El contra-D’Alembert, descrito arriba, se comporta como un ParoliestrategiaParoliProgresión positiva: dobla tras un acierto, reinicia tras una pérdida o tras tres aciertos seguidos. También: martingala inversa.Leer todo → suave. Algunos jugadores añaden dos unidades tras una pérdida y restan una tras un acierto, lo que empina la escalera hacia el territorio de la martingala. Todas las versiones comparten la misma pérdida esperadamatemáticasPérdida esperadaEl valor esperado multiplicado por la cantidad total apostada; la cantidad que se pierde de media a lo largo de una sesión o de un período.Leer todo → por unidad apostada.
Simulador · D'Alembert
2000 sesiones de suertes sencillas con un bankroll de $1000.
Apuesta base $10 · límite de mesa $500 · 100 tiradas por sesión
Con qué frecuencia llega una racha perdedora
Una suerte sencilla en un cilindro de un solo cero pierde 19 tiradas de cada 37. Cada fila es la probabilidad de que una serie dada de tiradas pierda entera, y lo que lleva perdido para entonces quien juega a D'Alembert, que añade una apuesta base tras cada pérdida.
| pérdidas seguidas | probabilidad | aprox. 1 de cada | ya perdido | apuesta siguiente |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $3 |
| 3 | 13,5% | 7 | $6 | $4 |
| 4 | 7,0% | 14 | $10 | $5 |
| 5 | 3,6% | 28 | $15 | $6 |
| 6 | 1,8% | 55 | $21 | $7 |
| 7 | 0,94% | 106 | $28 | $8 |
| 8 | 0,48% | 207 | $36 | $9 |
| 9 | 0,25% | 403 | $45 | $10 |
| 10 | 0,13% | 784 | $55 | $11 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $66 | $12 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $78 | $13 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $91 | $14 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $105 | $15 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $120 | $16 |
La probabilidad es 19/37 multiplicado por sí mismo una vez por pérdida, contada desde una tirada dada. Una sesión larga tiene muchas tiradas en las que puede empezar una racha así, de modo que a lo largo de una noche es mucho más probable de lo que sugiere una fila.
Preguntas
No tiene precipicio, lo que lo convierte en la progresión negativa más suave. No es más barato que la apuesta plana; es algo más caro.
Solo el límite de mesamesaLímite de mesaApuesta mínima y apuesta máxima permitidas. La máxima es lo que detiene las progresiones que doblan.Leer todo → o tu bankrolldineroBankrollLa cantidad total reservada para jugar. La gestión del bankroll consiste en decidir qué parte arriesgar por apuesta y por sesión.Leer todo →, el dinero reservado para jugar. En una sesión perdedora larga sube de forma constante.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
Juegas el D’Alembert al rojoapuestaRojoSuerte sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → durante 50 tiradas, empezando con una unidaddineroUnidadLa apuesta base con la que trabaja un sistema o un jugador. Las progresiones se describen en unidades para que sirvan en cualquier mesa.Leer todo →, y nunca aciertas una apuesta de una unidad (tras un acierto así, la apuesta no tendría adónde bajar). Terminas con 27 pérdidas y 23 aciertos. ¿Cuántas unidades vas ganando o perdiendo? ¿Y con 29 pérdidas y 21 aciertos?
Ver la solución
Respuesta +13 unidades con 27 pérdidas, −15 unidades con 29. Que dos tiradas de cincuenta salgan al revés cuesta 28 unidades.
Llama D a las pérdidas menos los aciertos. El resultado es (N − D²)/2 − D para N tiradas. Con 27 pérdidas y 23 aciertos, D = 4: (50 − 16)/2 − 4 = 17 − 4 = +13. Con 29 y 21, D = 8: (50 − 64)/2 − 8 = −7 − 8 = −15.
Por qué se cumple la regla: la apuesta es siempre una unidad más las pérdidas hasta el momento menos los aciertos hasta el momento. Cada pérdida que un acierto posterior anula forma una pareja, perder s y luego ganar s + 1, que deja +1 unidad neta, como muestra la tabla de arriba. En N tiradas se forman (N − D)/2 parejas así, que valen +(N − D)/2. Las D pérdidas sobrantes se hicieron con apuestas de 1, 2… D en la subida y nunca se anularon; cuestan 1 + 2 + … + D = D(D + 1)/2. En conjunto: (N − D)/2 − D(D + 1)/2 = (N − D²)/2 − D.
El cuadrado lo explica todo. Una sesión equilibrada paga media unidad por tirada, y cada paso que se aleja del equilibrio cuesta más que el anterior.
Juegas el D’Alembert inverso al rojo durante 100 tiradas, empezando con una unidad, y nunca pierdes una apuesta de una unidad. Terminas con 52 aciertos y 48 pérdidas. ¿Cómo quedas? ¿Y con 60 aciertos y 40 pérdidas?
Ver la solución
Respuesta −38 unidades con 52 aciertos, +170 con 60. Una ventaja pequeña en aciertos sigue perdiendo; solo una grande da beneficio.
Llama D a los aciertos menos las pérdidas. El resultado es (D² − N)/2 + D para N tiradas.
52 aciertos y 48 pérdidas: D = 4, así que (16 − 100)/2 + 4 = −42 + 4 = −38.
60 aciertos y 40 pérdidas: D = 20, así que (400 − 100)/2 + 20 = 150 + 20 = +170.
Por qué: cada acierto que una pérdida posterior anula forma una pareja, ganar s y luego perder s + 1, que deja −1 neto. Los D aciertos sobrantes se hicieron con apuestas de 1, 2… D en la subida y nunca se anulan; aportan D(D + 1)/2. En N tiradas se forman (N − D)/2 parejas, así que el total es D(D + 1)/2 − (N − D)/2 = (D² − N)/2 + D.
Es la regla del D’Alembert original con los signos invertidos: allí, el equilibrio gana media unidad por tirada y el desequilibrio se castiga; aquí, el equilibrio cuesta media unidad por tirada y el desequilibrio se premia.
Nota de humor
Lleva el nombre de un matemático que se equivocó con la moneda.
Fuentes
- d’Alembert, J. “Croix ou pile.”
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.