Probabilidad de las rachas
Las rachas largas de un mismo color son habituales. También carecen de sentido para la siguiente tirada.
Cinco rojos seguidos: 2,7%. Diez: 0,074%. En una sesión de 200 tiradas, una racha de seis de un mismo color aparece más veces de las que no.
Con qué frecuencia llega una racha perdedora
Una suerte sencilla en un cilindro de un solo cero pierde 19 tiradas de cada 37. Cada fila es la probabilidad de que una serie dada de tiradas pierda entera, y lo que lleva perdido para entonces quien juega a la martingala, que dobla tras cada pérdida.
| pérdidas seguidas | probabilidad | aprox. 1 de cada | ya perdido | apuesta siguiente |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1023 | $1024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2047 | $2048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4095 | $4096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8191 | $8192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
La probabilidad es 19/37 multiplicado por sí mismo una vez por pérdida, contada desde una tirada dada. Una sesión larga tiene muchas tiradas en las que puede empezar una racha así, de modo que a lo largo de una noche es mucho más probable de lo que sugiere una fila.
Una sola racha
La probabilidadmatemáticasProbabilidadGrado de posibilidad de un resultado, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Leer todo → de que las próximas k tiradas sean todas rojoapuestaRojoSuerte sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → es (18/37)ᵏ. Dos: 23,7%. Cinco: 2,7%. Diez: 0,074%, alrededor de 1 de cada 1350. Veinte: 1 entre 1,8 millones. Veintiséis, el récord de Montecarlo: 1 entre 137 millones. Estas son las probabilidades de una racha concreta que empieza en una tirada concreta, que es la pregunta que casi nadie se está haciendo en realidad.
En una sesión
La pregunta que la gente se hace es «¿aparecerá en mi sesión una racha de k en algún momento?», y la respuesta es mucho mayor que (18/37)ᵏ, porque una sesión de 200 tiradas ofrece casi 200 puntos de partida para una racha. Una racha de seis o más del mismo color, rojo o negroapuestaNegroSuerte sencilla sobre los 18 números negros. En francés: noir.Leer todo →, aparece en una sesión de 200 tiradas alrededor del 94% de las veces; de ocho o más, alrededor del 47%; de diez o más, alrededor del 14%. Si se nombra el color de antemano, las probabilidades bajan, a alrededor del 75%, el 27% y el 7%. Un jugador que se siente a jugar una noche verá rachas largas todas las noches.
Por qué le importa a la martingala
Toda progresiónestrategiaProgresiónCualquier regla que cambia la apuesta en función de los resultados anteriores. Las progresiones negativas la suben tras las pérdidas; las positivas, tras los aciertos.Leer todo → negativa tiene una longitud de racha que la rompe: seis pérdidas con una base de $10 y un límite de $500, diez con FibonacciestrategiaFibonacciProgresión que sigue la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: un paso adelante tras una pérdida, dos pasos atrás tras un acierto.Leer todo →, cinco al triplicar en docenasapuestaDocena1–12, 13–24 o 25–36, paga 2:1.Leer todo →. La probabilidad de una racha perdedora de seis en suerte sencilla es (19/37)⁶ ≈ 1,8% por intento, y una sesión de 200 tiradas contiene quizá 100 intentos, así que la ruptura llega en aproximadamente cuatro de cada cinco sesiones de esa duración. Las probabilidades de las rachas son la razón de que el precipicio no sea raro.
Números calientes y fríos
La misma aritmética se aplica a los plenosapuestaPlenoUn solo número, paga 35:1.Leer todo →. En 300 tiradas, el recuento esperado por número es 8,1; la desviación típicamatemáticasDesviación típicaRaíz cuadrada de la varianza; la distancia típica de un resultado respecto al valor esperado.Leer todo → es de unos 2,8. Algún número mostrará 15 aciertos y algún otro 2 solo por azar, siempre. Un panel de resultados que destaca los números «calientes» está destacando la cola superior de una distribución normal. El Laboratorio explica cuántas tiradas hacen falta para que un número calientemitoNúmero calienteUn número que ha salido últimamente más veces de lo esperado. En un cilindro equilibrado no predice nada.Leer todo → signifique algo (miles, de un mismo cilindro identificado).
La independencia lo es todo
Una racha de diez rojos no hace más probable el negro, y tampoco hace más probable el rojo. Los dos son 18/37. Las rachas son una propiedad de las secuencias aleatorias y resultarían sospechosas por su ausencia: una secuencia de 200 tiradas sin ninguna racha de más de cuatro sería una evidencia de manipulación mucho más fuerte que una con una racha de doce.
Fórmula
Preguntas
La famosa es la de 26 negros en Montecarlo el 18 de agosto de 1913. Se informó de 32 rojos seguidos en un casino estadounidense en 1943. Las dos son compatibles con el azar, dada la cantidad de tiradas que se juegan en los casinos.
Es 18/37 en ambos casos. Apuesta lo que diga tu plan, o nada.
No. El sesgo se manifiesta en que algunas casillasmaterialCasillaCada uno de los 37 compartimentos numerados del rotor. También: casillero, alvéolo.Leer todo → salen más a menudo a lo largo de miles de tiradas, no en rachas de un color.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
¿Cuántas tiradas de un cilindro europeo hacen falta, de media, para que cada uno de los 37 números haya salido al menos una vez?
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Respuesta Unas 155 tiradas de media; la mediana es 147.
Cuenta la espera número nuevo a número nuevo. La primera tirada siempre muestra un número nuevo. Cuando ya has visto 1 número, 36 casillasmaterialCasillaCada uno de los 37 compartimentos numerados del rotor. También: casillero, alvéolo.Leer todo → de 37 son nuevas, así que el siguiente número nuevo tarda de media 37/36 tiradas. Cuando has visto k números, tarda 37/(37 − k).
Suma las esperas: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 tiradas.
La mayor parte está al final. Solo el último número tarda de media 37 tiradas, y los cinco últimos, unas 85. En un cilindro americano, la misma suma da unas 161. Es el problema del coleccionista de cupones; Wizard of Odds da la misma media.
En 37 tiradas de un cilindro europeo, una tirada por casilla, ¿cuántos números distintos deberías esperar ver?
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Respuesta Unos 23,6. Aproximadamente un tercio de los números, unos 13, no sale ni una vez.
Toma un número, por ejemplo el 17. En cada tirada no sale con una probabilidad de 36/37, así que falla las 37 tiradas con una probabilidad de (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Todos los números tienen la misma probabilidad, así que de media faltan 37 × 0,363 ≈ 13,4 números y salen 37 − 13,4 ≈ 23,6, muchos de ellos dos veces o más.
Los jugadores de ruleta lo llaman la ley de los tercios. No es ninguna ley, solo la aritmética de las repeticiones: en una serie tan larga como el cilindro, alrededor de un tercio de los números se queda fuera, en un cilindro equilibrado igual que en cualquier otro. Con 38 casillas la fracción también es (37/38)³⁸ ≈ 0,363; para un cilindro grande se acerca a 1/e ≈ 0,368.
Un amigo te enseña dos listas de 50 colores, rojoapuestaRojoSuerte sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → o negroapuestaNegroSuerte sencilla sobre los 18 números negros. En francés: noir.Leer todo →, que supuestamente salen de un cilindro dejando fuera los ceroscilindroCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna suerte sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo →. Una cambia de color 25 veces y su racha más larga es de seis. La otra cambia 35 veces y nunca pasa de tres seguidos. ¿Cuál es inventada?
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Respuesta La segunda. Una lista real cambia unas 24 o 25 veces. Una con 35 cambios aparece aproximadamente una vez de cada 500 listas, y una sin ninguna racha de más de tres, unas dos veces de cada 100.
Cada nuevo color o repite el anterior o cambia, mitad y mitad, así que 49 ocasiones de cambiar dan 24,5 cambios de media, con un margen de unos 3,5 arriba o abajo. Treinta y cinco está tres de esos pasos por encima de la media; un cilindro equilibrado produce tantos cambios aproximadamente una vez de cada 500 listas.
Las rachas cuentan la misma historia. Una lista real de 50 tiene una racha de cuatro o más alrededor del 98% de las veces, y su racha más larga suele ser de cinco o seis.
Las personas a las que se pide inventar una lista aleatoria cambian demasiado a menudo, porque una racha de cuatro o cinco les parece un patrón. Taylor (2021) muestra la misma señal en listas de lanzamientos de moneda inventadas por estudiantes: el azar real tiene más rachas de lo que la gente espera.
Un libro de historias de casino habla de un jugador cuyo número salió cinco veces seguidas y lo llama un récord. ¿Qué rareza es eso en un cilindro europeo? ¿Y con qué frecuencia debería ocurrir en algún punto de un casino con 20 mesas, cada una con 40 tiradas por hora, día y noche?
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Respuesta Un número elegido cinco veces seguidas: 1 de cada 69 millones. Un número cualquiera que sale cuatro veces más después de su primera aparición: 1 de cada 1,87 millones. Ese casino hace unos 7 millones de tiradas al año, así que debería ver una racha de cinco tres o cuatro veces al año.
Un número elegido sale con probabilidad 1/37 en cada tirada, así que cinco seguidas tienen probabilidad (1/37)⁵ = 1 de cada 69.343.957. Pero nadie elige el número de antemano. Salga lo que salga primero, las cuatro tiradas siguientes tienen que repetirlo: (1/37)⁴ = 1 de cada 1.874.161.
20 mesas × 40 tiradas × 24 horas × 365 días = 7.008.000 tiradas al año. Cada tirada puede iniciar una racha, así que el casino espera 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 rachas de cinco al año.
No existe ningún registro oficial de este tipo, y no hace falta: un suceso raro en una mesa es algo rutinario en todo un casino, y las historias se cuentan sobre la mesa donde ocurrió. La historia, en Goldman (2007), transcurre en un cilindro de doble cero, donde las cifras son 1 de cada 79 millones y 1 de cada 2,09 millones.
Nota de humor
Las rachas largas son el aspecto que tiene el azar.
Fuentes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.