Problema: el cilindro de los cumpleaños
¿Cuántas tiradas hacen falta para que se repita algún número? Muchas menos de las que la mayoría imagina.
El problema del cumpleaños en un cilindro de 37 casillasmaterialCasillaCada uno de los 37 compartimentos numerados del rotor. También: casillero, alvéolo.Leer todo →: con solo 8 tiradas hay más probabilidad que no de que algún número ya haya salido dos veces. Los jugadores leen las repeticiones como patrones; son el comportamiento esperado de un cilindro equilibrado.
El problema
Haz girar un cilindro europeo equilibrado. ¿Cuántas tiradas hacen falta para que la probabilidadmatemáticasProbabilidadGrado de posibilidad de un resultado, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Leer todo → de que al menos dos tiradas hayan mostrado el mismo número supere la mitad? La mayoría de los jugadores calcula algo así como 18 o 19, la mitad de 37. La respuesta es 8.
La solución
Calcula la probabilidad de que no haya repetición y réstala de uno. Tras k tiradas, p(todas distintas) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Para k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, así que p(alguna repetición) ≈ 0,56. Para k = 14 es 0,93; para k = 20 es 0,996. La intuición falla porque el número de pares de tiradas crece como k², y cualquier par puede coincidir.
Por qué importa en la mesa
Un panel de resultados con los últimos 20 números casi siempre mostrará al menos una repetición, a menudo dos o tres. Los jugadores ven «el 17 salió dos veces en diez tiradas» y concluyen que el 17 está caliente; la aritmética del cumpleaños dice que una repetición en diez tiradas ocurre el 74% de las veces y que el número repetido es aleatorio. El patrón es real; su significado, no.
El problema de continuación
¿Cuántas tiradas hacen falta para que un número concreto, por ejemplo el 17, haya salido dos veces? Es una pregunta distinta con una respuesta mucho mayor: la espera esperada es de 74 tiradas, y la probabilidad de dos 17 en 20 tiradas es de alrededor del 10%. La diferencia entre «algún número se repite» (8 tiradas) y «este número se repite» (74 tiradas) es toda la diferencia entre un patrón que notas después y una predicción que haces de antemano.
Pruébalo
Juega diez tiradas en el Juego de demostración y mira el historial. Normalmente habrá una repetición. Hazlo otra vez. El número repetido será distinto. Hazlo diez veces y habrás visto el problema del cumpleañosmatemáticasProblema del cumpleañosCuántas personas hacen falta para que probablemente dos cumplan años el mismo día, o cuántas tiradas hacen falta para que probablemente se repita un número. En un cilindro de 37 casillas bastan 8 tiradas para tener una probabilidad mayor que la mitad.Leer todo →; hazlo mil veces (los simuladores pueden) y lo habrás medido.
Fórmula
Preguntas
Exactamente, con 37 casillas en lugar de 365 días. 23 personas dan el 50% para los cumpleaños; 8 tiradas dan el 56% para el cilindro.
El 50% tras unas 19 tiradas. Sigue siendo algo rutinario.
No. Miles de tiradas de un mismo cilindro sí podrían; una repetición nunca.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
Un panel de resultados junto a un cilindro americano muestra las últimas 16 tiradas. ¿Qué probabilidad hay de que ningún número aparezca dos veces?
Ver la solución
Respuesta Aproximadamente un 2,5%: unos 39 paneles de cada 40 muestran al menos una repetición.
Ve tirada a tirada. La primera puede ser cualquiera. La segunda tiene que evitarla: 37 posibilidades de 38. La tercera tiene que evitar las dos: 36 de 38. La decimosexta tiene que evitar quince números: 23 de 38.
Multiplica: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
El panel sin repeticiones es el raro. Un panel con una repetición no dice nada del cilindro.
En diez tiradas de un cilindro europeo, ¿qué probabilidad hay de que el 17 salga exactamente cinco veces? ¿Y de que algún número, el que sea, salga cinco veces o más? ¿Y de que algún número salga al menos tres veces en cuatro tiradas?
Ver la solución
Respuesta El 17 exactamente cinco veces: 1 de cada 315.576. Algún número cinco veces o más: alrededor de 1 de cada 8333. Algún número tres veces o más en cuatro tiradas: 1 de cada 349.
El 17 cinco veces: elige cuáles de las diez tiradas son esas cinco, 252 maneras, cada una con probabilidad (1/37)⁵ × (36/37)⁵. En total, 1 de cada 315.576.
Algún número: cada uno de los 37 números tiene una probabilidad de 1 entre 308.325 de salir cinco veces o más, lo que da 37 entre 308.325, o 1 entre 8333. El raro caso de dos números con cinco aciertos cada uno se cuenta dos veces, pero quitarlo no cambia nada con esta precisión.
Tres veces en cuatro tiradas: para un número, 4 × 36 + 1 = 145 de los 37⁴ resultados posibles; para cualquiera de los 37 números, 145/37³ = 1 de cada 349.
Wizard of Odds respondió a las versiones de doble cerocilindroCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna suerte sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo → de estas preguntas; nuestras cifras para ese cilindro son 1 de cada 359.275, 1 de cada 9243 y 1 de cada 368. La diferencia entre «el 17» y «algún número» es otra vez el problema del cumpleañosmatemáticasProblema del cumpleañosCuántas personas hacen falta para que probablemente dos cumplan años el mismo día, o cuántas tiradas hacen falta para que probablemente se repita un número. En un cilindro de 37 casillas bastan 8 tiradas para tener una probabilidad mayor que la mitad.Leer todo →: hay 37 maneras de llevarse una sorpresa.
Nota de humor
Algo se repite pronto. Ese algo es aleatorio.
Fuentes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, preguntas sobre la ruleta.