Paso a paso: una sesión de martingala
Diez dólares al rojo, doblados tras cada pérdida, en una mesa de $500. Tirada a tirada, incluida la tirada que lo termina.
Una sesión simulada de martingala con un bankroll de $1000. Cuarenta y un pequeños aciertos, luego seis pérdidas seguidas y una séptima apuesta rechazada. La sesión termina con $220 por debajo tras haber ido ganando $410, que es lo que hace el sistema.
El plan
Se apuestan $10 al rojoapuestaRojoSuerte sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo →. Tras una pérdida, se dobla. Tras un acierto, se vuelve a $10. El límite de mesamesaLímite de mesaApuesta mínima y apuesta máxima permitidas. La máxima es lo que detiene las progresiones que doblan.Leer todo → es de $500, así que las apuestas son 10, 20, 40, 80, 160, 320 y luego una apuesta de $640 que la mesa rechazará. Seis pérdidas consecutivas rompen el sistema; cada intento tiene una probabilidad de (19/37)⁶ ≈ 1,8% de que ocurra, y una sesión de 100 tiradas contiene unos 50 intentos. Lo esperado: alrededor de un 60% de probabilidad de que el sistema se rompa en 100 tiradas, y una pérdida de $630 cuando ocurre.
Tiradas 1–30
MartingalaestrategiaMartingalaProgresión que dobla la apuesta tras cada pérdida. Consulta la sección Estrategia para ver lo que hace y lo que no hace.Leer todo → corriente: rachas de una a tres pérdidas, cada una cerrada por un acierto que da +$10 netos. En la tirada 30 llevamos 17 aciertos, cada uno cerrando un ciclo, y vamos ganando $170. La mayor apuesta hasta ahora fue de $80 tras tres pérdidas. Parece una máquina de imprimir billetes de $10.
Tiradas 31–60
Más de lo mismo, con un ciclo de cuatro pérdidas (apuestas hasta $160, luego un acierto) que puso brevemente $310 en la mesa y se sintió como valentía. Tras 60 tiradas: 41 ciclos completados, +$410, y el punto más bajo del bankrolldineroBankrollLa cantidad total reservada para jugar. La gestión del bankroll consiste en decidir qué parte arriesgar por apuesta y por sesión.Leer todo → fue de $1040. El histograma de cualquier sesión de martingala se ve así durante casi toda su duración.
Tiradas 61–66
P P P P P P. Apuestas de 10, 20, 40, 80, 160, 320: $630 perdidos. La siguiente apuesta sería de $640; el límite es de $500. El sistema se ha roto. Podemos apostar $500 (y, si se acierta, seguir $130 por debajo en el ciclo) o volver a $10 y aceptar la pérdida. Seis negrosapuestaNegroSuerte sencilla sobre los 18 números negros. En francés: noir.Leer todo → o ceroscilindroCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna suerte sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo → seguidos tienen una probabilidadmatemáticasProbabilidadGrado de posibilidad de un resultado, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Leer todo → del 1,8% por ciclo. Habíamos jugado unos 45 ciclos. La probabilidad de llegar a este punto en algún momento de 45 ciclos era de alrededor del 55%. No fue mala suerte; fue la mediana.
- p10 −$1000
- p25 −$1000
- mediana −$1000
- p75 +$790
- p90 +$1690
Las cuentas
Ganando $410 tras 60 tiradas, perdiendo $220 tras 66. Total apostado: unos $2100 en 66 tiradas, frente a $660 de un jugador con apuesta plana de $10. La pérdida esperadamatemáticasPérdida esperadaEl valor esperado multiplicado por la cantidad total apostada; la cantidad que se pierde de media a lo largo de una sesión o de un período.Leer todo → sobre $2100 de volumen apostadodineroVolumen apostadoLa cantidad total apostada en una sesión o un período, contando las ganancias que se vuelven a apostar. También: handle, action.Leer todo → es de $57; nuestro −$220 real queda a un tercio de desviación típicamatemáticasDesviación típicaRaíz cuadrada de la varianza; la distancia típica de un resultado respecto al valor esperado.Leer todo → por debajo, lo que no tiene nada de extraño en un sistema cuya distribución tiene una cola larga a la izquierda. Si nos hubiéramos detenido en la tirada 60 con un límite de ganancias (stop-win)estrategiaLímite de ganancias (stop-win)Un objetivo de beneficio fijado de antemano con el que das por terminada la sesión.Leer todo → de $400, nos habríamos ido con +$410, y la siguiente sesión habría tenido el mismo 1,8% por ciclo.
Lo que muestra la sesión
La martingala convierte una apuesta del 48,65% en una secuencia que gana el 98% de sus ciclos y pierde 63 unidadesdineroUnidadLa apuesta base con la que trabaja un sistema o un jugador. Las progresiones se describen en unidades para que sirvan en cualquier mesa.Leer todo → en el otro 2%. No cambia la pérdida esperada por dólar; multiplica los dólares. El jugador de apuesta plana que teníamos al lado apostó una tercera parte y perdió, de media, una tercera parte. El jugador que use este sistema durante un año ganará la mayoría de las noches y perderá el año.
Con qué frecuencia llega una racha perdedora
Una suerte sencilla en un cilindro de un solo cero pierde 19 tiradas de cada 37. Cada fila es la probabilidad de que una serie dada de tiradas pierda entera, y lo que lleva perdido para entonces quien juega a la martingala, que dobla tras cada pérdida.
| pérdidas seguidas | probabilidad | aprox. 1 de cada | ya perdido | apuesta siguiente |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1023 | $1024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2047 | $2048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4095 | $4096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8191 | $8192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
La probabilidad es 19/37 multiplicado por sí mismo una vez por pérdida, contada desde una tirada dada. Una sesión larga tiene muchas tiradas en las que puede empezar una racha así, de modo que a lo largo de una noche es mucho más probable de lo que sugiere una fila.
Preguntas
Nueve pérdidas lo rompen en lugar de seis: 0,25% por ciclo, y $5110 perdidos cuando ocurre. Precipicio más raro, precipicio más alto, el mismo −2,70%.
Habría ganado el 48,65% de las veces y, aun así, habría dejado el ciclo en −$130. Tras una martingala rota no hay ninguna buena jugada; solo está la apuesta que elijas a continuación.
Sí, para esa sesión. No para la media de todas las sesiones.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
En una mesa de $1 a $500, un jugador de martingalaestrategiaMartingalaProgresión que dobla la apuesta tras cada pérdida. Consulta la sección Estrategia para ver lo que hace y lo que no hace.Leer todo → empieza con $1 al rojoapuestaRojoSuerte sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → en un cilindro de un solo cerocilindroCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna suerte sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo →. ¿Cuántas pérdidas seguidas detienen la duplicación, cuánto se ha perdido para entonces y con qué frecuencia ocurre?
Ver la solución
Respuesta Nueve pérdidas: se han perdido $511 y la apuesta siguiente sería de $512. Ocurre una vez de cada 403 secuencias, aproximadamente.
Las apuestas son 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 y 256: en total, $511. La décima sería de $512, por encima del límite. Una apuesta de $500 que gane deja al jugador todavía $11 abajo; una que pierda lo deja $1011 abajo.
El rojo pierde con probabilidad 19/37, así que nueve pérdidas seguidas tienen una probabilidad de (19/37)⁹ ≈ 0,25%, una vez de cada 403 secuencias, aproximadamente. Cada secuencia completada gana $1, así que el jugador espera unos $402 de pequeñas ganancias antes de la única pérdida de $511, y de media se sigue perdiendo el 2,70% de todo lo apostado.
En un cilindro de doble cero, la probabilidad es (20/38)⁹, una vez de cada 323, aproximadamente. Bollman (2021) da «aproximadamente 1 de cada 833», que es (18/38)⁹, la probabilidad de nueve aciertos seguidos.
Nota de humor
Cuarenta y un pequeños aciertos y una gran pérdida. Ese es todo el sistema.
Fuentes
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”