Prueba de chi-cuadrado
La prueba habitual para saber si «estos 37 recuentos son lo que produciría un cilindro equilibrado».
χ² = Σ (observado − esperado)² / esperado sobre las 37 casillas. Se compara con la distribución chi-cuadrado de 36 grados de libertad para obtener un valor p.
Cómo se calcula
El recuento esperado por casillamaterialCasillaCada uno de los 37 compartimentos numerados del rotor. También: casillero, alvéolo.Leer todo → es n/37. Para cada casilla, eleva al cuadrado la diferencia entre lo observado y lo esperado y divídela entre lo esperado; suma los 37 términos. Un cilindro equilibrado da valores de alrededor de 36 de media (los grados de libertadlaboratorioGrados de libertadEl número de valores independientes de un estadístico. En una prueba de chi-cuadrado sobre 37 casillas es 36, porque los recuentos tienen que sumar el total.Leer todo →), con una desviación típicamatemáticasDesviación típicaRaíz cuadrada de la varianza; la distancia típica de un resultado respecto al valor esperado.Leer todo → de aproximadamente 8,5. Por encima de 51,0 es significativo al nivel del 5%; por encima de 58,6, al 1%. El Analizador de sesgo del cilindro calcula el estadístico y el valor plaboratorioValor pLa probabilidad de observar una desviación al menos tan grande como la observada si el cilindro fuera equilibrado.Leer todo → exacto a partir de la función gamma incompleta regularizada.
Un ejemplo resuelto
1000 tiradas. Treinta y seis casillas tienen entre 20 y 34 aciertos; la casilla 8 tiene 41. Lo esperado es 27,03. Solo el término de la casilla 8 es (41 − 27,03)²/27,03 = 7,2. Supón que los otros 36 términos suman 38 (lo típico). χ² = 45,2 con 36 gl, p ≈ 0,14. No es significativo: un cilindro equilibrado hace esto una vez de cada siete. La casilla 8 es una candidata, no un hallazgo, y la respuesta son otras mil tiradas.
Supuestos
Tiradas independientesmatemáticasTiradas independientesCada tirada tiene las mismas probabilidades sea cual sea el historial. Es la base de todos los cálculos de este sitio.Leer todo → y recuentos esperados de al menos 5 por casilla, lo que significa n ≥ 185 para que la prueba sea válida y muchas más para que sea útil. Agrupar tiradas de varios cilindros viola el primer supuesto en espíritu (se está probando una mezcla, no un cilindro). Un efecto de firma del crupier lo violaría de hecho e inflaría χ² sin que ninguna casilla estuviera favorecida físicamente.
Pearson y Montecarlo
Karl Pearson publicó la prueba en 1900, y uno de sus primeros ejemplos resueltos fueron 26.306 tiradas registradas de la ruleta de Montecarlo, que le parecieron demasiado poco uniformes para deberse al azar; declaró que «la ruleta de Montecarlo… no es un juego de azar». Autores posteriores concluyeron que los periodistas que registraron las tiradas para un periódico habían inventado muchas de ellas, lo que es una lección en sí misma sobre la procedencia de los datos.
Pearson publica la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado, con tiradas de Montecarlo como ejemplo.
Se cuestionan los datos de las tiradas; los registradores parecen haber inventado series.
Fisher formaliza los grados de libertad; se impone la convención del 5%.
Los estadísticos usan tiradas de ruleta como datos de manual para pruebas de uniformidad.
La familia García-Pelayo aplica el método con datos reales registrados y gana en Madrid.
Los casinos ejecutan la misma prueba en sus propios cilindros como mantenimiento rutinario.
Una prueba real: cilindros automáticos en Las Vegas
Los jugadores sospechan a menudo que un cilindro automático desvía la bolamaterialBolaLa pequeña bola que se lanza por la pista en sentido contrario al del rotor. Las bolas modernas son de ivorina o de teflón, de 18–21 mm.Leer todo → de las apuestas grandes. En 2017, Wizard of Odds puso la sospecha a prueba en los cilindros automáticos de doble cerocilindroCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna suerte sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo → de Interblock en Las Vegas, sin crupier, apostando a un arco de cinco números vecinos, el tipo de apuesta que hace un jugador que cronometra el cilindro. En 299 tiradas el arco ganó 29 veces frente a 39,3 esperadas, un déficit que un cilindro equilibrado produce alrededor del 4% de las veces. El chi-cuadrado sobre las 38 casillas fue de 45,29 con 37 grados de libertad: p = 16,5%. Una segunda muestra de 1204 tiradas en tres cilindros dio χ² = 34,79, p = 57%, y ningún arco de ningún tamaño de los que probó fue significativo. Las dos muestras juntas, 1503 tiradas, dieron χ² = 41,75, p = 27%. El veredicto fue que no había pruebas de que se desviara la bola. La primera muestra, sola, parecía sospechosa; la segunda es la que zanjó la cuestión.
Más allá del chi-cuadrado
Para una única casilla sospechosa, una prueba binomial es más potente. Para un arco sospechoso, la prueba z por sectorcilindroSectorUn arco continuo de casillas del cilindro, a diferencia de un grupo del tapete.Leer todo → de la página de análisis de sectores. El chi-cuadrado es la prueba global: dice que algo no encaja sin decir qué. Úsalo primero y después mira.
Fórmula
Preguntas
Los 37 recuentos deben sumar n, así que solo 36 pueden variar libremente.
Un cilindro con una casilla a 1/25 en 10.000 tiradas daría solo por esa casilla un término de alrededor de 70; χ² muy por encima de 100, con un valor p prácticamente cero.
Técnicamente sí, con 5,4 esperadas por casilla. No detectará nada que no sea un cilindro con una casilla sellada.
Nota de humor
Suma las sorpresas al cuadrado. Compárala con 51,0.
Fuentes
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”